如图，△AOC在平面直角坐标系中，∠AOC=90°，且O为坐标原点，点A、C分别在坐标轴上，AO=4，OC=3，将△AOC绕点C按逆时针方向旋转，旋转后的三角形记为△CA′O′．（1）求AC的长；（2）当CA边

Question

如图，△AOC在平面直角坐标系中，∠AOC=90°，且O为坐标原点，点A、C分别在坐标轴上，AO=4，OC=3，将△AOC绕点C按逆时针方向旋转，旋转后的三角形记为△CA′O′．
（1）求AC的长；
（2）当CA边落在y轴上（其中旋转角为锐角）时，一条抛物线经过A、C两点且与直线AA′相交于x轴下方一点D，如果S_△AOD=9，求这条抛物线的解析式；
（3）继续旋转△CA′O′，当以CA′为直径的⊙P与（2）中抛物线的对称轴相切时，圆心P是否在抛物线上，请说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△AOC中，∵AO=4，OC=3，
∴AC=5；

（2）由旋转可知A′C=AC=5．
∴A′O=A′C-OC=2．
∴A（-4，0），C（0，3），A′（0，-2）．
可求得直线AA′的解析式为y＝−(1)/(2)x−2．
抛物线与直线AA′交于点D，设点D（x，y）
∵S_△AOD=9，
∴(1)/(2)OA•(−y)＝9，
解得y＝−(9)/(2)．
将y＝−(9)/(2)代入y＝−(1)/(2)x−2，得x=5．
∴D（5，−(9)/(2)），
∵抛物线过A、C、D三点，
∴可求得抛物线的解析式为y＝−(1)/(4)x2−(1)/(4)x+3；

（3）由y＝−(1)/(4)x2−(1)/(4)x+3得对称轴为x＝−(1)/(2)．
∵⊙P与抛物线的对称轴相切，可有两种情况：
情况1：如图②，过点P向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E，交y轴于点F，点P到对称轴的距离PE等于⊙P的半径，
即PE=(5)/(2)，PF=2．CF=√(PC2−PF2) ＝(3)/(2)．
∴FO=CO-CF=(3)/(2)，
∴P（2，(3)/(2)）．
∵点P的坐标满足y＝−(1)/(4)x2−(1)/(4)x+3，
∴点P在抛物线上．
情况2：如图③，过点P′向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E′，交轴于点F′．
同理可求得点P′（2，(9)/(2)）．
∵点P′坐标不满足抛物线y＝−(1)/(4)x2−(1)/(4)x+3，
∴此点P′不在抛物线上．