已知二次函数f(x)满足f(-2+k)=f(-2-k)(k∈R)且该函数的图像与y轴交于点(0,1),在x轴上截得的线段长为2√2（根号）,求该二次函数的解析式

Question

已知二次函数f(x)满足f(-2+k)=f(-2-k)(k∈R)且该函数的图像与y轴交于点(0,1),在x轴上截得的线段长为2√2（根号）,求该二次函数的解析式

Answer 1

二次函数f(x)满足f(-2+k)=f(-2-k)(k∈R),可得,
f(-x)=f(x),此函数是偶函数,
设,此函数的解析式为f(x)=ax^2+c,(∵此函数是偶函数,b=0).
该函数的图像与y轴交于点(0,1),有
1=a*0+c,c=1.
在x轴上截得的线段长为2√2（根号）,有
f(x)=ax^2+c,f(0)=ax^2+1=0,
x1=√(-1/a),x2=-√(-1/a).
又∵|X2-X1|=2√2,解得,a=-1/2.
∴该二次函数的解析式是f(x)=-1/2x^2+1.