已知关于x的一元二次方程x^2-(m^2+3）x+1/2(m^2+2)=0.(1)求证:无论M是任何实数,方程有两个正根.(2)设X1,X2为方程的两根,...,且满足x1^2+x2^2=17/2,求M的值.

Question

已知关于x的一元二次方程x^2-(m^2+3）x+1/2(m^2+2)=0.
(1)求证:无论M是任何实数,方程有两个正根.(2)设X1,X2为方程的两根,...,且满足x1^2+x2^2=17/2,求M的值.

Answer 1

(1)x²-(m²+3)x+1/2(m²+2)=0
判别式=(m²+2)²-4*(1/2)*(m²+3)=(m²+3)(m²+3-2)=(m²+3)(m²+1)>0恒成立
所以方程有2个不相等的实数根
韦达定理
x1*x2=1/2(m²+2)>0恒成立
所以x1和x2同号
x1+x2=m²+3>0恒成立
所以x1>0,x2>0
所以根据以上,方程有2个不相等的正根
(2)把a^2+b^2-ab=17/2化为
a^2+2ab+b^2-3ab=17/2
(a+b)^2-3ab=17/2
由题意得a+b=m^2+3,ab=1/2(m^2+2),把它代入(a+b)^2-3ab=17/2,
m^2=-5(舍去),m^2=1/2
所以m=正负根号2/2