关于函数定义的问题~书上说“设A,B都是非空的数的集合,f是从A到B的一个对应法则,那么映射f:A-B就叫做A到B的函数,原象集合A叫定义域,象集合C叫值域,显然C包含于B...”我想问的是,既然C是值域

Question

关于函数定义的问题~
书上说“设A,B都是非空的数的集合,f是从A到B的一个对应法则,那么映射f:A-B就叫做A到B的函数,原象集合A叫定义域,象集合C叫值域,显然C包含于B...”
我想问的是,既然C是值域,为什么不说“设A,C都是非空的数的集合,f是从A到C的一个对应法则,那么映射f:A-C就叫做A到B的函数”呢?
定义域，值遇，对应法则是函数的三要素，那为什么还要去考虑属于B而不属于C的元素呢？不是画蛇添足吗？说函数f:A-B，却不把B当值遇，不是多此一举吗？

Answer 1

之所以这样定义,是因为在数学中,像集往往在研究前是不明晰的,但仍需要很好地描述映射.
举个简单一点的例子：
我们知道对于素数的分布,数学家还没有一个完全完满的解答.但我们可以简单地定义下面的正整数集到有理数集的映射：
f:N+ → Q
f(n)等于第n个素数除以n的值.
那么,它的像集是什么,我们根本不能直接表示出来,可是我们还是很想研究它.这说明把映射像存在的区间放大一点往往是方便的.如果不允许这种放大,我们可能要说清楚这个f是什么很麻烦,还怎么进一步研究呢?
函数作为一类特殊的映射,又为了描述像集的方便,才要求把像集在一开始就定义好了的.其实在多数数学研究中,我们还是类似映射那样对待函数,就是为了比较方便.