（2014•萧山区模拟）已知f（x）=ax2-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设a＞1e2，g(x)＝−5+lnxa，存在x1，x2∈（

Question

（2014•萧山区模拟）已知f（x）=ax²-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设a＞(1)/(e2)，g(x)＝−5+ln(x)/(a)，存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)＝2ax−(2)/(x)＝(2ax2−2)/(x)，x∈（0，e]．
由已知f'（1）=2a-2=0，解得a=1，此时f′(x)＝(2x2−2)/(x)＝(2(x+1)(x−1))/(x)．
在区间（0，1）上，f^′（x）＜0；在区间（1，e）上，f^′（x）＞0．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值．
因此a=1时适合题意．
（Ⅱ） f′(x)＝2ax−(2)/(x)＝(2ax2−2)/(x)，x∈（0，e]．
1）当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．
2）当a＞0时，f′(x)＝(2a(x+(√(a))/(a))(x−(√(a))/(a)))/(x)．
①若(√(a))/(a)＜e，即a＞(1)/(e2)，
则f（x）在(0，(√(a))/(a))上是减函数，在(

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作业帮用户 2017-11-08

问题解析

（Ⅰ）先求导得到f^′（x），令f^′（x）=0，解出a的值，并验证a的值是否满足极值的条件．
（Ⅱ）先求导得到f^′（x），然后对a分类讨论，看f^′（x）是大于0还是小于0，从而得到f（x）的单调区间．
（Ⅲ）把要求的问题：“存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，”转化为“对于x∈（0，e]，|f（x）_min-g（x）_max|＜9”．进而求出a的取值范围．

名师点评

本题考点：

函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题综合考查了函数的极值、单调区间及恒成立问题，掌握方法和正确计算及分类讨论是解决问题的关键．

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