已知函数f(x)=12x2+(1-a)x-alnx，a∈R．（1）若f（x）存在极值点为1，求a的值；（2）若f（x）存在两个不同零点x1，x2，求证：a>e2（e为自然对数的底数，lne≈0.6931）．

Question

已知函数f(x)=(1)/(2)x2+(1-a)x-alnx ， a∈R．
（1）若f（x）存在极值点为1，求a的值；
（2）若f（x）存在两个不同零点x₁，x₂，求证：a>(e)/(2)（e为自然对数的底数，lne≈0.6931）．

Answer 1

（1）函数f(x)=(1)/(2)x2+(1-a)x-alnx ， a∈R，
可得f′(x)=x+1-a-(a)/(x)，因为f（x）存在极值点为1，
所以f'（1）=0，即2-2a=0，a=1，经检验符合题意，所以a=1；
（2）证明：f（x）的导数为f′(x)=x+1-a-(a)/(x)=(x+1)(1-(a)/(x))(x>0)，
①当a≤0时，f'（x）>0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，不符合题意；
②当a>0时，由f'（x）=0得x=a，
当x>a时，f'（x）>0，所以f（x）为增函数，
当0<x<a时，f'（x）<0，所f（x）为增函减数，
所以当x=a时，f（x）取得极小值f（a），
又因为f（x）存在两个不同零点，所以f（a）<0，
即(1)/(2)a2+(1-a)a-alna<0
整理得lna>1-(1)/(2)a，
令h(a)=lna+(1)/(2)a-1，h′(a)=(1)/(a)+(1)/(2)>0，h（a）在定义域内单调递增，h((e)/(2))•h(e)=(ln(e)/(2)+(e)/(4)-1)(lne+(e)/(2)-1)=(e)/(2)((e)/(4)-ln2)，
由ln2≈0.6931，e≈2.71828知(e)/(4)-ln2<0，
故a>(e)/(2)成立．