已知函数F(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe^1-x(a∈R,e为自然对数的底数),为什么f(x)在（0,1/2）上恒小于零不成立

Question

已知函数F(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe^1-x(a∈R,e为自然对数的底数),为什么f(x)在（0,1/2）上恒小于零不成立

Answer 1

因为f（x）＜0在区间(0,
1
2
)上恒成立不可能,
故要使函数f(x)在(0,
1
2
)上无零点,
只要对任意的x∈(0,
1
2
),f（x）＞0恒成立,即对x∈(0,
1
2
),a＞2−
2lnx
x−1
恒成立．
令l(x)＝2−
2lnx
x−1
,x∈(0,
1
2
),则l(x)＝−
2
x
(x−1)−2lnx
(x−1)2
＝
2lnx+
2
x
−2
(x−1)2
,
再令m(x)＝2lnx+
2
x
−2,x∈(0,
1
2
),
则m′(x)＝−
2
x2
+
2
x
＝
−2(1−x)
x2
＜0,故m（x）在(0,
1
2
)上为减函数,于是m(x)＞m(
1
2
)＝2−2ln2＞0,
从而,l（x）＞0,于是l（x）在(0,
1
2
)上为增函数,所以l(x)＜l(
1
2
)＝2−4ln2,
故要使a＞2−
2lnx
x−1
恒成立,只要a∈[2-4ln2,+∞）,
综上,若函数f（x）在(0,
1
2
)上无零点,则a的最小值为2-4ln2；
（III）g'（x）=e1-x-xe1-x=（1-x）e1-x,
当x∈（0,1）时,g'（x）＞0,函数g（x）单调递增；
当x∈（1,e]时,g'（x）＜0,函数g（x）单调递减．
又因为g（0）=0,g（1）=1,g（e）=e•e1-e＞0,
所以,函数g（x）在（0,e]上的值域为（0,1]．
当a=2时,不合题意；当a≠2时,f'（x）=2−a−
2
x
＝
(2−a)x−2
x
＝
(2−a)(x−
2
2−a
)
x
,x∈（0,e]
当x=
2
2−a
时,f'（x）=0．
由题意得,f（x）在（0,e]上不单调,故0＜
2
2−a
＜e,即a＜2−
2
e
①
此时,当x变化时,f'（x）,f（x）的变化情况如下：
又因为,当x→0时,f（x）→+∞,
f(
2
2−a
)＝a−2ln
2
2−a
,f(e)＝(2−a)(e−1)−2,
所以,对任意给定的x0∈（0,e],在（0,e]上总存在两个不同的xi（i=1,2）,
使得f（xi）=g（x0）成立,当且仅当a满足下列条件：
f(
2
2−a
)≤0
f(e)≥1
即
a−2ln
2
2−a
≤0②
(2−a)(e−1)−2≥1③
令h（a）=a−2ln
2
2−a
,a∈(−∞,2−
2
e
),
则h′(a)＝1−2[ln2−ln(2−a)]′＝1−
2
2−a
＝
a
a−2
,令h'（a）=0,得a=0或a=2,
故当a∈（-∞,0）时,h'（a）＞0,函数h（a）单调递增；
当a∈(0,2−
2
e
)时,h'（a）＜0,函数h（a）单调递减．
所以,对任意a∈(−∞,2−
2
e
),有h（a）≤h（0）=0,
即②对任意a∈(−∞,2−
2
e
)恒成立．
由③式解得：a≤2−
3
e−1
．④
综合①④可知,当a∈(−∞,2−
3
e−1
]时,对任意给定的x0∈（0,e],
在（0,e]上总存在两个不同的xi（i=1,2）,
使f（xi）=g（x0）成立．