已知函数f（x）=aex-1（e为自然对数的底数，a为常数）的图象与直线y=x相切．（Ⅰ）求a的值，并求函数y=f（x）-x的值域；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，证明：当x＞0时，f（x）＞g（x）．

Question

已知函数f（x）=ae^x-1（e为自然对数的底数，a为常数）的图象与直线y=x相切．
（Ⅰ）求a的值，并求函数y=f（x）-x的值域；
（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，证明：当x＞0时，f（x）＞g（x）．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=ae^x，
设切点为（x₀，f（x₀）），
∴

f′(x0)＝−1

f(x0)＝x0

，即

aex0＝1

aex0−1＝x0

，
解得：x₀=0，a=1，
∵y=f（x）-x=e^x-x-1，
∴y′=e^x-1，
令y′＞0，解得：x＞0，
令y′＜0，解得：x＜0，
∴y=f（x）-x在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴x=0时，y=[f（x）-x]_最小=0，
∴y=f（x）-x的值域为：[0，+∞），
（Ⅱ）∵f（x）-x在（0，+∞）递增，
∴x＞0时，f（x）-x＞f（0）-0=0，
∴f（x）＞x①，
设h（x）=g（x）-x=lnx-x+1，
∴h′（x）=(1−x)/(x)，（x＞0），
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令h′（x）＜0，解得：x＞1，
∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴h（x）_max=h（1）=0，
∴x＞0时，h（x）≤0，即g（x）-x≤0，
∴g（x）≤x②，
由①②得：f（x）＞g（x）．