设A=[-1，1]，B=[-2，2]，函数f（x）=2x2+mx-1，（1）设不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∩B）时，求实数m的取值范围；（2）若对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，试求x∈B时，函数f（x）

Question

设A=[-1，1]，B=[-2，2]，函数f（x）=2x²+mx-1，
（1）设不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∩B）时，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，试求x∈B时，函数f（x）的值域；
（3）设g（x）=2|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

（1）由A=[-1，1]，B=[-2，2]，知：A∩B=[-1，1]；
且二次函数f（x）的开口向上，f（0）=-1；
由题意知不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∩B）时，函数f（x）必有两零点，且两零点均在区间[-1，1]内；
故只需：

f(-1)≥0

f(1)≥0

，解得-1≤m≤1；
∴实数m的取值范围为[-1，1]；
（2）对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立；
∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
∴-(m)/(4)=1，解得m=-4；
∴函数f（x）=2（x-1）²-3，x∈[-2，2]；
∴x=-2时，f（x）取最大值15，x=1时，f（x）取最小值-3；
∴函数f（x）在区间B上的值域为[-3，15]；
（3）令h（x）=f（x）+g（x）；
则h(x)=x2+2|x-a|-1=

x2+2x-2a-1，x≥a

x2-2x+2a-1，x≤a

；
①当a≤-1时，函数h（x）在区间（-∞，-1）是减函数，（-1，+∞）是增函数，此时h（x）_min=h（-1）=-2a-2；
②当-1<a<1时，函数h（x）在区间（-∞，a）是减函数，（a，+∞）是增函数，此时h(x)min=h(a)=a2-1；
③当a≥1时，函数f（x）在区间（-∞，1）是减函数，（1，+∞）是增函数，此时h（x）_min=2a-2；
综上：当a≤-1时，f（x）_min=-2a-2，当-1<a<1时f(x)min=a2-1，当a≥1时f（x）_min=2a-2．