几个关于圆周率π的问题1.设S=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²……+n²,求证n-->∞时,S-->π²/62.设S=1-1/3+1/5-1/7+……+1/(4n+1)-1/(4n+3),求证n-->∞时,S-->π/43.现代数论中,若将π表示成连分数,其渐

Question

几个关于圆周率π的问题
1.设S=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²……+n²,求证n-->∞ 时,S-->π²/6
2.设S=1-1/3+1/5-1/7+……+1/(4n+1)-1/(4n+3),求证n-->∞ 时,S-->π/4
3.现代数论中,若将π表示成连分数,其渐进分数是3/1 22/7 333/106 355/113 103993/33102 请问该连分数是否有相应的公式或计算方法.
注：以上内容可能涉及高等数学.
就留给网友们思考吧.
如果有人对连分数的知识有所了解,欢迎和我在线交流.可以参考夏道行先生的《说不尽的π》一书
1.在区间（0,1）内任取两个数,求将它们作为边长时能与1构成一个钝角三角形的概率.
2.试证明在分母不大于16500的分数中,与π最接近的还是355/113.（用初等的不等式就可解决.参考数据：π=3.1415926535897

Answer 1

第一题用傅立叶级数来做,第二题用arctanx的无穷级数展式（arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+.,令x=1即可）第三题不会.