（2014•福建模拟）已知函数f（x）=（x-e）（lnx-1）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若m是f（x）的一个极值点，且点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）

Question

（2014•福建模拟）已知函数f（x）=（x-e）（lnx-1）（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若m是f（x）的一个极值点，且点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））满足条件：ln（x₁•x₂）=lnx₁•lnx₂+2．
（ⅰ）求m的值；
（ⅱ）求证：点A，B，P（m，f（m））是三个不同的点，且构成直角三角形．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝lnx−(e)/(x)，
f'（1）=-e，又f（1）=e-1，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-（e-1）=-e（x-1），
即ex+y-2e+1=0．                                    
（Ⅱ）（ⅰ）对于f′(x)＝lnx−(e)/(x)，定义域为（0，+∞）．
当0＜x＜e时，lnx＜1，−(e)/(x)＜−1，∴f′(x)＝lnx−(e)/(x)＜0；
当x=e时，f'（x）=1-1=0；
当x＞e时，lnx＞1，−(e)/(x)＞−1，∴f′(x)＝lnx−(e)/(x)＞0，
∴f（x）存在唯一的极值点e，
∴m=e，则点P为（e，0）．
（ⅱ）若x₁=e，则lnx₁x₂=lnx₂+1，lnx₁•lnx₂+2=lnx₂+2，
与条件lnx₁•x₂=lnx₁•lnx₂+2不符，从而得x₁≠e．
同理可得x₂≠e．                    
若x₁=x₂，由lnx₁•x₂=lnx₁•lnx₂+2⇒(lnx1)2−2lnx1+2＝0，此方程无实数解，
从而得x₁≠x₂．                 
由上可得点A，B，P两两不重合．
又

PA

•

PB

＝(x1−e，f(x1))•(x2−e，f(x2))=（x₁-e）（x₂-e）+（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁-1）（lnx₂-1）=（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁lnx₂-lnx₁x₂+2）=0
从而PA⊥PB，点A，B，P可构成直角三角形．