已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上

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已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x²-1）＜2．

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答案和解析

（1）由题意知，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=-1，代入上式解得f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x₂＞x₁＞0，则f(x2)−f(x1)＝f(x1•

)−f(x1)=f(x1)+f(

)−f(x1)＝f(

)
∵x₂＞x₁＞0，∴

＞1，∴f(

)＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x²-1）＜2可化为f（|2x²-1|）＜f（4），
又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x²-1|＜4，且2x²-1≠0，
即-4＜2x²-1＜4，且2x²≠1解得：−

＜x＜

，且x≠±

，
即不等式的解集为{x|−