求不定方程x^2+3y^2=z^2,(x,y)=1,x>0,y>0,z>0的一切整数解的公式.要详细的解答过程不懂的就请不要参加了!

Question

求不定方程x^2+3y^2=z^2,(x,y)=1,x>0,y>0,z>0的一切整数解的公式.要详细的解答过程不懂的就请不要参加了!

Answer 1

这是从勾股数出来的变式；对于x^2+y^2=z^2,其整数解为x=m^2-n^2 y=2mn z=m^2+n^2(其中：m,n为正整数（m,n)=1）仿此,对于本题：可以设x=am^2-bn^2 y=2mn z=am^2+bn^2(其中（a,b)=1,(m,n)=1)代入方程,则：（ am^2-bn^2 ）^2+3(2mn)^2=(am^2+bn^2)^2化简得：4ab=12,即ab=3又因为a,b为正整数,所以a=1,b=3a或a=3,b=1所以整数解为x=m^2-3n^2 y=2mn z=m^2+3n^2或x=3m^2-n^2 y=2mn z=3m^2+n^2其中m,n为正整数且（m,n)=1