已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e是自然对数的底数）．（1）若a=-1，求函数y=f（x）•g（x）在[-1，2]上的最大值；（2）若a=-1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的

Question

已知函数f（x）=x²+ax+1，g（x）=e^x（其中e是自然对数的底数）．
（1）若a=-1，求函数y=f（x）•g（x）在[-1，2]上的最大值；
（2）若a=-1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；
（3）若对任意的x₁、x₂∈[0，2]，x₁≠x₂，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）若a=-1，则y=f（x）•g（x）=（x²-x+1）•e^x，
∴y'=（x²+x）•e^x=x（x+1）e^x，
∵x∈[-1，0]时，y'＜0，x∈[0，2]时，y'＞0，
∴函数y=（x²-x+1）•e^x在区间[-1，0]上单调递减，在区间[0，2]上单调递增，
又f(−1)＝(3)/(e)，f(2)＝3e2，
故函数的最大值为3e²．
（2）由题意得：k＝(f(x))/(g(x))＝(x2−x+1)/(ex)有且只有一个根，
令h(x)＝(x2−x+1)/(ex)，则h′(x)＝(−(x2−3x+2))/(ex)＝(−(x−1)(x−2))/(ex)
故h（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，
所以h(x)极大＝h(2)＝(3)/(e2)，h(x)极小＝h(1)＝(1)/(e)，
因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→-∞时，h（x）→+∞，
所以当k＞(3)/(e2)或0＜k＜(1)/(e)时，k=h（x）有且只有一个根．
（3）设x₁＜x₂，因为g（x）=e^x在[0，2]单调递增，
故原不等式等价于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
所以g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
即

g(x1)−f(x1)＜g(x2)−f(x2)

f(x1)+g(x1)＜g(x2)+f(x2)

，在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
则函数F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，
则有

G′(x)＝g′(x)+f′(x)＝ex+2x+a≥0

F′(x)＝g′(x)−f′(x)＝ex−2x−a≥0

，在[0，2]恒成立，
当a≥-（e^x+2x）恒成立时，因为-（e^x+2x）在[0，2]单调递减，
所以-（e^x+2x）的最大值为-1，所以a≥-1；
当a≤e^x-2x恒成立时，因为e^x-2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，
所以e^x-2x的最小值为2-ln2，所以a≤2-2ln2，
综上：-1≤a≤2-2ln2．