已知a∈R，函数f（x）=（-x2+ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

Question

已知a∈R，函数f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（-x²+2x）e^x，f′（x）=-（x²-2）e^x
令f′（x）＞0，得x²-2＜0，∴-√(2)＜x＜√(2)
∴f（x）的单调递增区间是（-√(2)，√(2)）；
（Ⅱ）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，
即-x²+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，
即a≥x+1−(1)/(x+1)对x∈（-1，1）恒成立，
令y=x+1−(1)/(x+1)，则y′=1+(1)/((x+1)2)＞0
∴y=x+1−(1)/(x+1)在（-1，1）上单调递增，∴y＜1+1-(1)/(1+1)=(3)/(2)
∴a≥(3)/(2)
当a=(3)/(2)时，当且仅当x=0时，f′（x）=0
∴a的取值范围是[(3)/(2)，+∞）．