（2014•泸州三模）已知函数f（x）=ex−12x2+mx，x∈(−∞，0]lnx，x∈(0，+∞)，g（x）=12ax2+bx（a≠0）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为y=1ex+n，求m，n的值

Question

（2014•泸州三模）已知函数f（x）=

ex−(1)/(2)x2+mx，x∈(−∞，0]

lnx，x∈(0，+∞)

，g（x）=(1)/(2)ax²+bx（a≠0）（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为y=(1)/(e)x+n，求m，n的值；
（Ⅱ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅲ）当x＞0时，设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当x＜0时，f（x）=e^x-(1)/(2)x²+mx，导数f'（x）=e^x-x+m，
∴f'（-1）=e^-1+1+m，
即函数f（x）的图象在x=-1处的切线斜率为e^-1+1+m，
切点为（-1，e^-1-(1)/(2)-m），
∵函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为y=(1)/(e)x+n，
∴e^-1+1+m=(1)/(e)，-(1)/(e)+n=e^-1-(1)/(2)-m，
∴m=-1，n=(2)/(e)+(1)/(2)；
（Ⅱ）a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）的解析式是h（x）=lnx+x²-bx，
导数h'（x）=(1)/(x)+2x-b，
∵函数h（x）在（0，+∞）内是增函数，
∴h'（x）≥0即(1)/(x)+2x-b≥0在（0，+∞）内恒成立，
∴b≤（(1)/(x)+2x）_min，
∵x＞0时，(1)/(x)+2x≥2√((1)/(x)•2x)=2√(2)，
∴b≤2√(2)，
故b的取值范围是（-∞，2√(2)]；
（Ⅲ）假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂，
则由题意得点M、N的横坐标与中点R的横坐标相等，
且为x₀=

作业帮用户 2017-11-14

问题解析

（Ⅰ）先求出f（x）在x＜0时的导数，从而得到在x=-1处的切线斜率，并求出切点，根据切点在切线上，得到一方程，及切线斜率为e^-1，得到另一个方程，求出m，n；
（Ⅱ）首先化简a=-2时的函数h（x），根据函数h（x）在（0，+∞）内是增函数等价为h'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，通过分离参数，求出

(1)/(x)+2x（x＞0）的最小值2√(2)，令b不大于2√(2)；
（Ⅲ）假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，设出P，Q的坐标，求出中点R的横坐标，分别求出C₁在点M处的切线斜率k₁与C₂在点N处的切线斜率k₂，令k₁=k₂，两边同时乘以x₂-x₁，整理得到∴ln(x2)/(x1)＝(2((x2)/(x1)−1))/((x2)/(x1)+1)，构造函数r（t）=lnt-(2(t−1))/(t+1)（t＞1），应用导数说明r（t）在t＞1上单调递增，从而r（t）＞r（1），即lnt＞(2(t−1))/(t+1)，显然矛盾，故假设不成立，即不存在．

名师点评

本题考点：

导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题主要考查导数在函数中的综合应用：解决切线问题，判断单调性及应用．考查探究性问题，构造函数通过求导应用单调性解决，考查灵活将式子变形的能力，有一定的难度．

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