如图,已知D为等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的垂直平分线EF分别交AC于E,交AB于F,若BC=2,CD=2(√2-1),求证：四边形AEDF为菱形不要连辅助线,设DE=x

Question

如图,已知D为等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的垂直平分线EF分别交AC于E,交AB于F,若BC=2,CD=2(√2 -1),求证：四边形AEDF为菱形
不要连辅助线,设DE=x

Answer 1

1:设AE=X,则CE=2-X
容易证三角形AEO全等于三角形DEO 所以DE=AE=X
由CD=√2 在直角△CDE中得:
x＾2=(2-x)＾2+(√2)＾2
x＾2=x＾2-4x+4+2
得:x=3/2
2:
同理设AE=X,当CD=2(√2-1)时
在直角△CDE中得:
x＾2=(2-x)＾2+〔2(√2-1)〕＾2
x＾2=x＾2-4x+4+4(3-2√2)
4x=4+4(3-2√2)
得:x=4-2√2
CE=2-x=2-4+2√2=2√2-2
即得:CE=CD=2√2-2.又因为AC=BC易得:DE//AF.
∠EDA=∠DAF.又因为AO=DO,∠EOD=∠AOF
则有△OED与△OFA全等.即:DE=AF
又因为DE//AF
所以得平行四边形
又因为AE=ED .即得四边形AEDF是菱形!