设函数f(x)=lnxx+x-a(a∈R)，若曲线y=2ex+1e2x+1(e是自然对数的底数）上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A.（-∞，0]B.（0，e]C.(-∞，1e]D.[0，+∞）

Question

设函数f(x)=

(lnx)/(x)+x-a(a∈R)，若曲线y=(2ex+1)/(e2x+1)(e是自然对数的底数）上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，则a的取值范围是（　　）

A. （-∞，0]

B. （0，e]

C. (-∞，

(1)/(e)]

D. [0，+∞）

Answer 1

y=(2ex+1)/(e2x+1)(e是自然对数的底数），求导，y′=(2ex+1(1-e2x))/((e2x+1)2)，
令y′=0，解得：x=0，
当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，
则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减，
则当x=0时，取最大值，最大值为e，
∴y₀的取值范围（0，e]，
则函数f(x)=(lnx)/(x)+x-a(a∈R)，x∈（0，e），
求导，f′（x）=(x2-lnx+1)/(x2)，
x∈（0，e），f′（x）>0，
则f（x）在（0，e）单调递增，
下面证明f（y₀）=y₀．
假设f（y₀）=c>y₀，则f（f（y₀））=f（c）>f（y₀）=c>y₀，不满足f（f（y₀））=y₀．
同理假设f（y₀）=c<y₀，则不满足f（f（y₀））=y₀．
综上可得：f（y₀）=y₀．
令函数f(x)=(lnx)/(x)+x-a(a∈R)=x，化为a=(lnx)/(x)．
设g（x）=(lnx)/(x)，求导g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当x∈（0，e），g′（x）>0，
g（x）在（0，e）单调递增，
当x=e时取最大值，最大值为(1)/(e)，
当x→0时，a→-∞，
∴a的取值范围（-∞，(1)/(e)]，
故选C．