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已知函数f(x)∈{x-1,log2|x|,x12},且f(x)为偶函数.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=m•2f(x)+x2(m∈R).①若函数g(x)在区间(-∞,-2)上是减函数,求实数m的取
题目详情
已知函数f(x)∈{x-1,log2|x|,x
},且f(x)为偶函数.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=m•2f(x)+x2(m∈R).
①若函数g(x)在区间(-∞,-2)上是减函数,求实数m的取值范围;
②当m>
时,证明:g(x)>
x+
在x∈[1,2]上恒成立.
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(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=m•2f(x)+x2(m∈R).
①若函数g(x)在区间(-∞,-2)上是减函数,求实数m的取值范围;
②当m>
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▼优质解答
答案和解析
(1)若f(x)=x-1,则f(-x)=(-x)-1=-x-1=-f(x),所以f(x)为奇函数,不合题意;
若f(x)=x
,则f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)即不是奇函数,也不是偶函数,不合题意;
若f(x)=log2|x|,则f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(x)为偶函数,符合题意,
综上可知,函数f(x)=log2|x|.
(2)g(x)=m•2log2|x|+x2.
①因为x∈(-∞,-2)时,g(x)=x2-mx.
所以,当m≥0时,g(x)在(-∞,-2)上单调递减,符合题意;
当m<0时,要使得g(x)在(-∞,-2)上单调递减,须且只须
≥-2,
即m≥-4,所以-4≤m≤0.
综上所述,所求m的取值范围是[-4,+∞).
②当x∈[1,2]时,g(x)=x2+mx.
所以g(x)>
x+
⇔x2+mx>
x+
⇔(m-
)x2-1>-x3.
令F(x)=(m-
)x2-1(1≤x≤2),G(x)=-x3(1≤x≤2).
因为m>
,所以函数F(x)在区间[1,2]上单调递增,
所以F(x)min=F(1)=m-
>
-
=-1,所以F(x)>-1,
又因为函数G(x)在区间[1,2]上单调递减,
所以G(x)max=G(1)=-1,所以G(x)≤-1,
所以F(x)>G(x),
所以G(x)>
x+
在x∈[1,2]上恒成立.
若f(x)=x
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若f(x)=log2|x|,则f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(x)为偶函数,符合题意,
综上可知,函数f(x)=log2|x|.
(2)g(x)=m•2log2|x|+x2.
①因为x∈(-∞,-2)时,g(x)=x2-mx.
所以,当m≥0时,g(x)在(-∞,-2)上单调递减,符合题意;
当m<0时,要使得g(x)在(-∞,-2)上单调递减,须且只须
m |
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即m≥-4,所以-4≤m≤0.
综上所述,所求m的取值范围是[-4,+∞).
②当x∈[1,2]时,g(x)=x2+mx.
所以g(x)>
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所以F(x)min=F(1)=m-
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又因为函数G(x)在区间[1,2]上单调递减,
所以G(x)max=G(1)=-1,所以G(x)≤-1,
所以F(x)>G(x),
所以G(x)>
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