（2014•凉山州二模）设函数f（x）=ex，g（x）=mx+n，e是自然对数的底，m，n∈R．（Ⅰ）若m=1时方程f（x）-g（x）=0在[-1，1]上恰有两个相异实根，求n的取值范围；（Ⅱ）若F（x）=f（x）g（x），

Question

（2014•凉山州二模）设函数f（x）=e^x，g（x）=mx+n，e是自然对数的底，m，n∈R．
（Ⅰ）若m=1时方程f（x）-g（x）=0在[-1，1]上恰有两个相异实根，求n的取值范围；
（Ⅱ）若F（x）=f（x）g（x），且n=1-m，求F（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵m=1时方程f（x）-g（x）=0在[-1，1]上恰有两个相异实根，令h（x）=f（x）-g（x），
则有

h(0)＜0

h(−1)≥0

h(1)≥0

，即

1−n＜0

(1)/(e)+1−n≥0

e−1−n≥0

，解得1＜n＜1+(1)/(e)，故n的范围为（1，1+(1)/(e)）．
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）g（x），且n=1-m，∴F（x）=e^x（mx+1-m），∴F′（x）=e^x（mx+1）．
∵e^x＞0，∴①当m≥0时F（x）在[0，1]上单调递增，最大值为F（1）=e．
若-(1)/(m)＜1，即m＜-1，F（x）在[0，F′（x）＞0，F（x）在[0，1]上单调递增，最大值为F（1）=e．
②当m＜0时，由F′（x）=0求得x=-(1)/(m)＞0．
若-(1)/(m)≥1，即-1≤m＜0，
-(1)/(m)]上单调递增，F（x）在[-(1)/(m)，1]上单调递减，
F（x）在[0，1]上的最大值为F（-(1)/(m)）=0．