已知函数f（x）=（1-x）ex-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设g(x)＝f(x)x，证明g（x）有最大值g（t），且-2＜t＜-1．

Question

已知函数f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设g(x)＝(f(x))/(x)，证明g（x）有最大值g（t），且-2＜t＜-1．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=-xe^x．
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以f（x）的最大值为f（0）=0．
（Ⅱ）g（x）=((1−x)ex−1)/(x)，g′（x）=(−(x2−x+1)ex+1)/(x2)．
设h（x）=-（x²-x+1）e^x+1，则h′（x）=-x（x+1）e^x．
当x∈（-∞，-1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（-1，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
又h（-2）=1-(7)/(e2)＞0，h（-1）=1-(3)/(e)＜0，h（0）=0，
所以h（x）在（-2，-1）有一零点t．
当x∈（-∞，t）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（t，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
由（Ⅰ）知，当x∈（-∞，0）时，g（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0．
因此g（x）有最大值g（t），且-2＜t＜-1．