已知函数f（x）=x3+bx2+cx（b，c∈R）的图象在点x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）设g（x）=aex（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数），若存在x0

Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx（b，c∈R）的图象在点x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）设g（x）=ae^x（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数），若存在x₀∈[0，2]，使g（x₀）=f′（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2bx+c，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
∴

3+2b+c=3

-2-b=-(1)/(2)

，即b=-(3)/(2)，c=3．
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，2]使g（x₀）=f′（x₀）成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•e^x=3x²-3x+3，
∴a=(3x2-3x+3)/(ex)，
令h（x）=(3x2-3x+3)/(ex)，
∴h′（x）=(-3x2+9x-6)/(ex)，
令h′（x）=0，得x₁=1，x₂=2，列表讨论：

x	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（x）	-	0	+	0
h（x）	↓	极小值	↑	极大值

∴h（x）有极小值h（1）=(3)/(e)，h（x）有极大值h（2）=(9)/(e2)，
且当x→0时，h（x）→3>(9)/(e2)，
∴a的取值范围是[(3)/(e)，3）．