导数证明题设函数f（x）在[-2,2]上连续,在（－2,2）内可导,且f（－2）＝0,f（0）＝2,f（2）＝0,试证曲线线段y＝f（x）（－2小于等于x小于等于2）上至少有一点的切线平行于直线x－2y＋6＝0

Question

导数证明题
设函数f（x）在[-2,2]上连续,在（－2,2）内可导,且f（－2）＝0,f（0）＝2,f（2）＝0,试证曲线线段y＝f（x） （－2小于等于x小于等于2）上至少有一点的切线平行于直线x－2y＋6＝0

Answer 1

我来回答
由题可知,本题实际要求存在x4属于（-2,2）,使得y＝f（x）的导数
f’（x4）=1/2(也就是直线的斜率)
函数f（x）在[-2,2]上连续,在（－2,2）内可导,且f（－2）＝0,f（0）＝2,f（2）＝0,
根据拉格朗日定理
存在x1属于（-2,0）,x2属于（0,2）,使得
f’（x1）=（f（0）-f（－2））/(0-(-2))=1;
f’（x2）=（f（2）-f（0））/(2-(0))=-1;
由于f（0）＝2,f（2）＝0,
存在x3属于（-2,2）,使得
f’（x3）=（f（2）-f（－2））/(2-(-2))=0;
f（x）连续可导,可以判断f’（x）连续,且
f’（x1）=1；f’（x3）=0
所以存在x4属于（-2,2）,使得
f’（x4）=1/2成立
命题得证