设函数f（x）=x（e^x-1）-ax^2（1）若a=1/2,求f（x）的单调区间（2）若当x≥0,f（x）≥0,求a的取值范围

Question

设函数f（x）=x（e^x-1）-ax^2 （1）若a=1/2,求f（x）的单调区间 （2）若 当x≥0,f（x）≥0,求a的取值范围

Answer 1

（1）f'(x)=e^x-1+xe^x-x
=(x+1)(e^x-1)
易得:x＞0或x＜-1时,f'(x) ＞0,-1＜X＜0时,f’(x) ＜0
所以a=1/2时,f(x)的单调增区间为(-无穷,-1)和（0,+无穷）,单调减区间为(-1,0)
(2)f'(x)=e^x-1+xe^x-2ax
由(1)知:a=1/2,x≥0时,f(x)单调递增,即
f(x)≥f(0)=1-1=0
∴e^x-1≥1/2x,x≥0
∴f'(x)=e^x-1+xe^x-2ax
=(x+1)(e^x-1)+(1-2a)x
≥x(x+1)/2+(1-2a)x
≥(1-2a)x
即a≤1/2时,f'(x)≥0,而f(0)=0
于是当x≥0,f(x)≥0
取0≤x≤1,∴-1≤-x≤0
同理可得:e^(-x)-1≤-x/2
∴x≤2(1-e^-x)
从而当a＞1/2时,
f'(x)=(x+1)(e^x-1)+(1-2a)x
≤(x+1)(e^x-1)+2(1-2a)(1-e^-x)
=(e^x-1)[x+1+(2-4a)e^(-x)]
≤(e^x-1)[3-2e^(-x)+(2-4a)e^(-x)]
≤(e^x-1)[3-4ae^(-x)]
∴x≤ln(3/4a)＜ln(4/2)=ln2时,f(x)单调递减,而f(0)=0,所以至少存在一点x使得f(x)＜0
综上,a≤1/2