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设函数f(x)=lnx+x2+ax.(Ⅰ)若时,f(x)取得极值,求a的值;(Ⅱ)若f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围;(Ⅲ)设g(x)=f(x)-x2+1,当a=-1时,证明g(x)≤0在其定义域内恒
题目详情
设函数f(x)=lnx+x2+ax.
(Ⅰ)若
时,f(x)取得极值,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)-x2+1,当a=-1时,证明g(x)≤0在其定义域内恒成立,并证明
(n∈N,n≥2).
(Ⅰ)若

(Ⅱ)若f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)-x2+1,当a=-1时,证明g(x)≤0在其定义域内恒成立,并证明

▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)先求函数的导函数,根据若
时,f(x)取得极值得f′(
)=0,解之即可;
(Ⅱ)f(x)在其定义域内为增函数可转化成只需在(0,+∞)内有2x2+ax+1≥0恒成立,建立不等关系,解之即可;
(Ⅲ)当a=-1时,g(x)=lnx-x+1,求出g(x)的最大值,得到lnx≤x-1,然后转化成n∈N,n≥2,所以lnn2≤n2-1,
从而得到则
,再累积加,最后利用裂项求和法得到不等式的右边.
【解析】
,
(Ⅰ)因为
时,f(x)取得极值,所以
,
即2+1+a=0,故a=-3.(3分)
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞).
方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2-8,
(1)当△≤0,即
时,2x2+ax+1≥0,f'(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,此时f(x)为增函数.
(2)当△>0,即
或
时,
要使f(x)在定义域(0,+∞)内为增函数,
只需在(0,+∞)内有2x2+ax+1≥0即可,
设h(x)=2x2+ax+1,
由
得a>0,所以
.
由(1)(2)可知,若f(x)在其定义域内为增函数,a的取值范围是
.(9分)
(Ⅲ)证明:g(x)=lnx+ax+1,当a=-1时,g(x)=lnx-x+1,其定义域是(0,+∞),
令
,得x=1.则g(x)在x=1处取得极大值,也是最大值.
而g(1)=0.所以g(x)≤0在(0,+∞)上恒成立.因此lnx≤x-1.
因为n∈N,n≥2,所以lnn2≤n2-1.则
.
所以
=
<
=
=
.
所以结论成立.


(Ⅱ)f(x)在其定义域内为增函数可转化成只需在(0,+∞)内有2x2+ax+1≥0恒成立,建立不等关系,解之即可;
(Ⅲ)当a=-1时,g(x)=lnx-x+1,求出g(x)的最大值,得到lnx≤x-1,然后转化成n∈N,n≥2,所以lnn2≤n2-1,
从而得到则

【解析】

(Ⅰ)因为


即2+1+a=0,故a=-3.(3分)
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞).
方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2-8,
(1)当△≤0,即

(2)当△>0,即


要使f(x)在定义域(0,+∞)内为增函数,
只需在(0,+∞)内有2x2+ax+1≥0即可,
设h(x)=2x2+ax+1,
由


由(1)(2)可知,若f(x)在其定义域内为增函数,a的取值范围是

(Ⅲ)证明:g(x)=lnx+ax+1,当a=-1时,g(x)=lnx-x+1,其定义域是(0,+∞),
令

而g(1)=0.所以g(x)≤0在(0,+∞)上恒成立.因此lnx≤x-1.
因为n∈N,n≥2,所以lnn2≤n2-1.则

所以

=

<

=


所以结论成立.
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