已知函数f（x）=x-12ax2+ln（x-1），其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，有f(x2)−f(x1)x2−x1＜a恒成立？若存在，求出a的取值范围；

Question

已知函数f（x）=x-(1)/(2)ax²+ln（x-1），其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，有(f(x2)−f(x1))/(x2−x1)＜a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）函数的定义域为（1，+∞），f′（x）=1-ax+(1)/(x−1)
a≤0时，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，∴函数的单调递增区间为（1，+∞）；
a＞0时，f′（x）＞0可得1＜x＜(a+1)/(a)；f′（x）＜0，可得x＞(a+1)/(a)．
∴函数的单调递增区间为（1，(a+1)/(a)），单调减区间为（(a+1)/(a)，+∞）；
（2）假设存在实数a，对任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，有(f(x2)−f(x1))/(x2−x1)＜a恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-ax₂＜f（x₁）-ax₁，
令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在[2，+∞）上为减函数即可，即g′（x）≤0在[2，+∞）上恒成立．
∵g（x）=（1-a）x-(1)/(2)ax2+ln（x-1），
∴g′（x）=1-a-ax+(1)/(x−1)，
由1-a-ax+(1)/(x−1)≤0可得a≥(x)/(x2−1)，
令h（x）=(x)/(x2−1)，则h′（x）=(−x2−1)/((x2−1)2)＜0，
∴h（x）在[2，+∞）上为减函数，
∴h（x）＜h（2）=(2)/(3)，
∴a≥(2)/(3)．