f（x）=x^2/eg（x）=2aInx是否存在正常数a,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有公共的切线?若有求出a?求出以及公共点坐标和公切线方程.

Question

f（x）=x^2/e g（x）=2aInx 是否存在正常数a,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有公共的切线?若有求出a?求出以及公共点坐标和公切线方程.

Answer 1

a=1 坐标（√e,1）y=2√e/e X-1
由题意得,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,则有
x^2/e-2aInx=0只有一解 不妨设这个解为x′
又因为该公共点处有公共的切线 f‘（x）=2x/e =g’（x）=2a/x
因为x′是两个函数的交点,所以把x=x′代入f‘（x）=2x/e =g’（x）=2a/x 中成立,
所以2x′/e 2a/x′ 即（x′）²=ae
因为x′是x^2/e-2aInx=0的解,所以x′^2/e-2aInx′=0 再把（x′）²=ae代入
得x′=√e a=1所以把x′=√e代入f（x)方程,解得f（X）=1 所以共点坐标是（√e,1）
因为f‘（x）=2x/e 所以,当x=x′=√e 时,f’（x）=2√e/e
所以公共切线的斜率就是2√e/e,又因为这条直线经过（√e,1）,所以公共直线：y=2√e/e X-1
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