已知定义在(0,+∞)上的f(x)为单调函数,且f(x)f[f(x)+1/x]=1,求f(1)

Question

已知定义在(0,+∞)上的f(x)为单调函数,且f(x)f[f(x)+1/x]=1,求f(1)

Answer 1

设f(1)=t,则f(1)f[f(1)+1/1]=1,即t*f(t+1)=1,
f(t+1)=1/t
又f(t+1)*f[f(t+1)+1/(t+1)]=1,即1/t*f[1/t+1/(t+1)]=1
即f[1/t+1/(t+1)]=t
又f(1)=t,知f(1)=f[1/t+1/(t+1)],由f(x)是定义在（0,+无穷）上的单调函数知
1/t+1/(t+1)=1
即t^2-t-1=0
解得:t=(1±根号5)/2 (经检验,当t=(1+根号5)/2时,f(x)单减,当t=(1-根号5)/2时,f(x)单增）