使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x-1的零点．己知函数y=x2-2mx-2（m+3）（m为常数）．（1）当m=0时，求该函数的零点；（2

Question

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x-1的零点．
己知函数y=x²-2mx-2（m+3）（m为常数）．
（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x₁和x₂，且(1)/(x1)+(1)/(x2)＝−(1)/(4)，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y=x-10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．

Answer 1

（1）当m=0时，该函数的零点为√(6)和−√(6)；
（2）令y=0，得△=（-2m）²-4[-2（m+3）]=4（m+1）²+20＞0
∴无论m取何值，方程x²-2mx-2（m+3）=0总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2（m+3）
由(1)/(x1)+(1)/(x2)＝−(1)/(4)，
解得m=1．
∴函数的解析式为y=x²-2x-8．
令y=0，解得x₁=-2，x₂=4
∴A（-2，0），B（4，0）
作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，
则AB’与直线y=x-10的交点就是满足条件的M点．
易求得直线y=x-10与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，-10）．
连接CB′，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B′CD=∠BCD=45°
∴∠BCB′=90°
即B′（10，-6）
设直线AB′的解析式为y=kx+b，则

−2k+b＝0

10k+b＝−6

，
解得：k=-(1)/(2)，b=-1；
∴直线AB′的解析式为y＝−(1)/(2)x−1，
即AM的解析式为y＝−(1)/(2)x−1．