函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b∈R．若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围．

Question

函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b∈R．若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围．

Answer 1

由x+1＞0，得x＞-1，所以函数f（x）=x²+bln（x+1）的定义域为（-1，+∞），
再由f（x）=x²+bln（x+1），得：f′(x)＝2x+(b)/(x+1)=(2x2+2x+b)/(x+1)，
要使函数f（x）在其定义域内是单调函数，则f^′（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，
因为x+1＞0，
令g（x）=2x²+2x+b，则g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，
函数g（x）开口向上，且对称轴为x＝−(1)/(2)，所以只有当△=2²-4×2b≤0，即b≥(1)/(2)时g（x）≥0恒成立．
所以，使函数f（x）在其定义域内是单调函数的b的取值范围是[(1)/(2)，+∞)．