如果有穷数列满足条件:即,我们称其为“对称数列”.例如:数列1,2,3,3,2,1和数列1,2,3,4,3,2,1都为“对称数列”。已知数列是项数不超过的“对称数列”，并使得依次为该数列中

Question

如果有穷数列 满足条件:
即 , 我们称其为“对称数列”.例如:数列1,2,3,3,2,1 和数列1,2,3,4,3,2,1都为 “对称数列”。已知数列 是项数不超过 的“对称数列”，并使得 依次为该数列中连续的前 项，则数列 的前2009项和 所有可能的取值的序号为  (     )
① ② ③ ④

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④

Answer 1

D

由于新定义了对称数列，且已知数列b _n 是项数为不超过2m（m＞1，m∈N ^* ）的“对称数列”，并使得1，2，2 ² ，…，2 ^m-1 依次为该数列中前连续的m项，故数列{b _n }的前2009项和需分情况讨论，然后利用等比数列的前n项和定义直接可求得，从而判断①②的正确与否；对于③④，先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和，在利用减法得到需要的前2009项的和，即可判断．
因为数列b _n 是项数为不超过2m（m＞1，m∈N ^* ）的“对称数列”，并使得1，2，2 ² ，…，2 ^m-1 依次为该数列中前连续的m项，
所以分数列的项数是偶数和奇数讨论．
若数列含偶数项，则数列可设为1，2 ¹ ，2 ² ，…，2 ^m-1 ，2 ^m-1 ，…，2 ² ，2 ¹ ，1
当m-1≥2008时，S ₂₀₀₉ = =2 ²⁰⁰⁹ -1，所以①正确；
当1004≤m-1＜2008时，S ₂₀₀₉ =2 =2 ^m+1 -2 ^2m-2009 -1，所以④正确；
若数列含奇数项，则数列可设为可设为1，2 ¹ ，2 ² ，…，2 ^m-2 ，2 ^m-1 ，2 ^m-2 …，2 ² ，2 ¹ ，1
当m-1≥2008时，S ₂₀₀₉ =2 ²⁰⁰⁹ -1；
当1004≤m-1＜2008时，所以S ₂₀₀₉ =2 =3?2 ^m-1 -2 ^2m-2010 -1，所以③正确．
故选D．