如果有穷数列，，，…，(m为正整数)满足条件，，…，，即(i=1，2，…，m)，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．(1)设是7项的“对称

Question

如果有穷数列，，，…，(m为正整数)满足条件，，…，，即(i=1，2，…，m)，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．
(1)设是7项的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，．依次写出的每一项；
(2)设是49项的“对称数列”，其中，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S；
(3)设是100项的“对称数列”，其中，，…，是首项为2，公差为3的等差数列．求前n项的和．____

Answer 1

【分析】(1)由b₁，b₂，b₃，b₄为等差数列，且b₁=2，b₄=11，先求b₁，b₂，b₃，b₄，然后由对称数列的特点可写出数列的各项；
(2)由c₂₅，c₂₆，…，c₄₉是首项为1，公比为2的等比数列，先求出c₂₅，c₂₆，…，c₄₉通项，结合对称数列的对应项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和公式可求出数列的和；
(3)由d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首项为2，公差为3的等差数列，可求该数列d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀的通项，由对称数列的特点，结合等差数列的特点，求数列的和.

(1)设数列{b_n}的公差为d，则
b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴数列{b_n}为2，5，8，11，8，5，2．
(2)S=c₁+c₂+…+c₄₉=2(c₂₅+c₂₆+…+c₄₉)-c₂₅=2(1+2+2²+…+2²⁴)-1=2(2²⁵-1)-1=2²⁶-3=67108861．
(3)d₅₁=2，d₁₀₀=2+3×(50-1)=149．
由题意得d₁，d₂，…，d₅₀是首项为149，公差为-3的等差数列．
当n≤50时，S_n=d₁+d₂+…+d_n=．
当51≤n≤100时，S_n=d₁+d₂+…+d_n=S₅₀+(d₅₁+d₅₂+…+d_n)
==
综上所述，

【点评】本题以新定义对称数列为切入点，运用的知识都是数列的基本知识：等差数列的通项及求和公式，等比数列的通项及求和公式，还体现了分类讨论在解题中的应用．