已知等差数列{an}的首项a1为a(a∈R,a≠0).设数列的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有且对任意正整数都有a2n/an=(4n-1)/(2n-1).(1)求数列{an}的通项公式及Sn(2)是否存在正整数n和k,使得Sn,Sn+1,Sn+k成等比

Question

已知等差数列{an}的首项a1为a(a∈R,a≠0).设数列的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有
且对任意正整数都有a2n/an=(4n-1)/(2n-1).
(1)求数列{an}的通项公式及Sn
(2)是否存在正整数n和k,使得Sn,Sn+1,Sn+k成等比数列?若存在,求出n和k的值,若不存在,请说明理由.

Answer 1

a(2n)=a1+(2n-1)d
an=a1+(n-1)d
即：(a1+(2n-1)d)/(a1+(n-1)d)=(4n-1)/(2n-1)
即：(2n-1)(a1+(2n-1)d)=(4n-1)(a1+(n-1)d)
即：2na1=nd,即：d=2a1=2a
1
{an}通项：an=a1+(n-1)d=a+2(n-1)a=(2n-1)a
Sn=na1+n(n-1)d/2=na+n(n-1)a=n^2a
2
若Sn、Sn+1、Sn+k成等比数列,则：
Sn+1/Sn=(n+1)^2/n^2=Sn+k/Sn+1=(n+k)^2/(n+1)^2
即：(n+1)/n=(n+k)/(n+1)
即：(n+1)^2=n^2+kn
即：kn=2n+1,即：k=2+1/n
k要为正整数,n=1,即：k=3
故：n=1,k=3