函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，给出下面四个命题：①不等式f（x）>0恒成立；②函数f（x）存在唯一零点x0，且x0∈（0，1）；③方程f（x）

Question

函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，给出下面四个命题：
①不等式f（x）>0恒成立；
②函数f（x）存在唯一零点x₀，且x₀∈（0，1）；
③方程f（x）=x有且仅有一个根；
④方程f（x）-f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x₀，且x₀∈（1，2）．
其中正确命题的个数为（　　）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

Answer 1

对于①∵f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对∀x∈（0，+∞），都有f（f（x）-lnx）=e+1，
∴设f（x）-lnx=t，则f（t）=e+1，
即f（x）=lnx+t，
令x=t，则f（t）=lnt+t=e+1，
则t=e，
∴f（x）=lnx+e，
当f（x）>0时，即lnx+e>0，即-lnx(1)/(x)<lne^e，解得x>(1)/(ee)，故①错误；
对于②∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
f（0）<0，f（1）=e>0，
∴f（0）f（1）<0，
∴函数f（x）存在唯一零点x₀，且x₀∈（0，1）；故②正确；
对于③∵f（x）=x，
∴lnx+e=x，
设g（x）=lnx+e-x，
∴g′（x）=(1)/(x)-1=(1-x)/(x)，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当x=1时，g（x）_max=g（1）=e-1>0，
∴g（x）=lnx+e-x在（1，+∞）上有两个零点，
∴方程f（x）=x有且两个根；故③错误；
对于④∵f′（x）=(1)/(x)>0，
则由f（x）-f′（x）=e+1得lnx+e-(1)/(x)=e+1，
即lnx-(1)/(x)-1=0，
设h（x）=lnx-(1)/(x)-1，
∵h（x）在（0，+∞）单调递增，
则h（3）=ln3-(1)/(3)-1<0，h（4）=ln4-(1)/(4)-1>0，
∴函数h（x）在（3，4）上存在一个零点，即方程f（x）-f′（x）=e+1的实数解所在的区间是（3，4）；故④错误
故选：A．