关于函数周期性的一个小问题如果一个函数既有对称中心,又有对称轴,那么这个函数的周期=对称中心和对称轴的距离x4?

Question

关于函数周期性的一个小问题
如果一个函数既有对称中心,又有对称轴,那么这个函数的周期=对称中心和对称轴的距离x4?

Answer 1

函数的周期 = xxxxxx
是不太好的讲法,因为一旦存在周期就一定有无穷多个周期
比较好的讲法是说右端是该函数的 "一个" 周期.
这个问题的证明很容易,把条件用代数语言写开就是
1) 存在 (x1,y1) 使得 f(x1+x)+f(x1-x) = 2y1 对所有的 x 都成立
2) 存在 x2 使得 f(x) = f(2x2-x) 对所有的 x 都成立
那么 f(x+4(x2-x1)) = f(x) 恒成立
(当 x1 和 x2 不相等的时候 4|x1-x2| 就是 f 的一个正周期)
另外注意,周期函数未必存在最小正周期,自然也谈不上所谓的"相邻"