周期函数,为什么:若定义在R上的函数关于点(a,c)与(b,c)成中心对称,则f(x)是周期函数且2b-2a是它的一个周期还有:若定义在R上的F(x)的图像关于(a,c)中心对称,又关于x=b成轴对称,则f(x)是周期函数且

Question

周期函数,
为什么:若定义在R上的函数关于点(a,c)与(b,c)成中心对称,则f(x)是周期函数且2b-2a是它的一个周期
还有:若定义在R上的F(x)的图像关于(a,c)中心对称,又关于x=b成轴对称,则f(x)是周期函数且4b-4a是它的一个周期

Answer 1

f(x) 关于(a,c)中心对称则有f（x)+f(2a-x)=2c
f(x)关于(b,c)中心对成,则有f(x)+f(2b-x)=2c
所以f(2a-x)=f(2b-x)
得到f(2a-x)=f(2b-x)
用x=2a-x代入得到f[2a-(2a-x)]=f[2b-(2a-x)]
f(x)=f[x+(2b-2a)]
所以f(x)是以2b-2a为周期的函数
2、f(x)关于（a,c)中心对称,所以f(x)+f(2a-x)=2c（1）
f(x)关于x=b轴对称,所以f(x)=f(2b-x)（2）
将x用2b-x代入（1）得 f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c(3)
根据（1）（2）（3）
得到f(2a-x)=f(2a-2b+x)(4)
由将x用x+2a代入（4）得到
f(-x)=f(4a-2b+x)
由(2)可得f(-x)=f(2b+x)
所以f(2b+x)=f(4a-2b+x)
将x用x-2b代入上式
得到f(x)=f(4a-2b+x-2b)=f[x-(4b-4a)]
所以f(x)是一个以4b-4a为周期的函数
下面那题方法差不多