以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品出厂价格y1是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元

Question

以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品出厂价格y₁是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店内的销售价格y₂是在8元的基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元．
（1）分别求出y₁、y₂关于第x月份的函数解析式；
（2）假设某商店每月进货这种商品m件，且当月能售完，问哪个月盈利最大？最大盈利为多少元？

Answer 1

（I）设y₁=Asin（ωx+φ）+B
∵y₁是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，
∴B=6
又∵3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，
∴A=2，T=2×（7-3）=8=(2π)/(ω)，
∴ω=(π)/(4)
则y₁=2sin（(π)/(4)x+φ）+6
将（3，8）点代入得：φ=−(π)/(4)
故y₁=2sin（(π)/(4)x−(π)/(4)）+6
同时由y₂是在8元的基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元
可得y₂=2sin（(π)/(4)x−(3π)/(4)）+8
（II）每件盈利  y=m（y₂-y₁）=2msin（(π)/(4)x−(π)/(4)-(π)/(2)）+8m-[2msin（(π)/(4)x−(π)/(4)）+6m]=（-2√(2)sin (π)/(4)x+2）m
则当当sin (π)/(4)x=-1，(π)/(4)x=2kπ-(π)/(2)，x=8k-2时y取最大值
当k=1，即x=6时，y取最大值
∴估计6月份盈利最大