由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx=（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx=2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx=4cos3x-3cocs．可

Question

由倍角公式cos2x=2cos ² x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．
对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos ² x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos ³ x-cosx-2（1-cos ² x）cosx
=4cos ³ x-3cocs．
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．
一般地，存在一个n次多项式P _n （t），使得cosnx=P _n （cosx），这些多项式P _n （t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．
（1）请尝试求出P ₄ （t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x．
（2）化简cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ，并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值．

Answer 1

（1）由于cos4x=cos（2x+2x）=cos ² 2x-sin ² 2x
=（2cos ² x-1） ² -（2sinxcosx） ²
=4cos ⁴ x-4cos ² x+1-4sin ² cos ² x
=4cos ⁴ x-4cos ² x+1-4（1-cos ² x）cos ² x
=8cos ⁴ x-8cos ² x+1（3分）
（2）cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ= ((1)/(2) cosθ+(3)/(2) sinθ)((1)/(2) cosθ-(3)/(2) sinθ)cosθ
= ((1)/(4) cos 2 θ-(3)/(4) sin 2 θ)cosθ = (1)/(4) (4 cos 2 θ-3)cosθ = (1)/(4) cos3θ （7分）
∵sin20°sin40°sin60°sin80°=cos70°cos50°cos30°cos10°
= (3)/(2) cos10°cos(60°-10°)cos(60°+10°) = (3)/(2) ×(1)/(4) cos30° = (3)/(16)