设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为常数，试问当t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．

Question

设α₁，α₂，…，α_s为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β₁=t₁α₁+t₂α₂，β₂=t₁α₂+t₂α₃，…，β_s=t₁α_s+t₂α₁，其中t₁，t₂为常数，试问当t₁，t₂满足什么关系时，β₁，β₂，…，β_s也为Ax=0的一个基础解系．

Answer 1

由于β_i（i=1，2…s）是α₁，α₂，…α_s线性组合，
又α₁，α₂，…α_s是Ax=0的解，
所以根据齐次线性方程组解的性质知β_i（i=1，2…s）均为Ax=0的解，
由于α₁，α₂，…α_s是Ax=0的基础解系，
所以：s=n-r（A），
下面来分析β₁，β₂，…β_s线性无关的条件：
设k₁β₁+k₂β₂+…k_sβ_s=0，
即（t₁k₁+t₂k_s）α₁+（t₂k₁+t₁k₂）α₂+（t₂k₂+t₁k₃）α₃+…+（t₂k_s-1+t₁k_s）α_s=0，
由于α₁，α₂，…α_s线性无关，
因此有：

t1k1+t2ks＝0

t2k1+t1k2＝0

t2k2+t1k3＝0

…

t2ks−1+t1ks＝0.

①
系数行列式=

.

t1	0	0	…	0	t2
t2	t1	0	…	0	0
0	t2	t1	…	0	0
…	…	…	…	…	…
0	0	0	…	t2	t1

.

=

t

s 1

+(−1)s+1

t

s 2

，
所以，当

t

s 1

+(−1)s+1

t

s 2

≠0时，
方程组①只有零k₁=k₂=…=k_s=0，从而：β₁，β₂，…β_s线性无关．