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设ξ1,ξ2,ξ3是齐次线性方程组AX=0的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表示为()A.ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3B.ξ1-ξ2-ξ3,ξ2,ξ3-ξ1C.ξ1-ξ2,ξ2-ξ3,ξ3-ξ1D.ξ1,3ξ3,ξ1-2ξ2
题目详情
设ξ1,ξ2,ξ3是齐次线性方程组AX=0的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表示为( )
A.ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3
B.ξ1-ξ2-ξ3,ξ2,ξ3-ξ1
C.ξ1-ξ2,ξ2-ξ3,ξ3-ξ1
D.ξ1,3ξ3,ξ1-2ξ2
A.ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3
B.ξ1-ξ2-ξ3,ξ2,ξ3-ξ1
C.ξ1-ξ2,ξ2-ξ3,ξ3-ξ1
D.ξ1,3ξ3,ξ1-2ξ2
▼优质解答
答案和解析
由题意,ξ1,ξ2,ξ3的任意线性组合都是AX=0的解向量,因此只需判断四个选项的向量组是否线性无关即可.
①选项A.由于{ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3}={ξ1,ξ2,ξ3}
={ξ1,ξ2,ξ3}A
而|A|=
=0,因此r{ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3}≤r(A)<3
∴{ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3}线性相关
故A错误.
②选项B.由于{ξ1-ξ2-ξ3,ξ2,ξ3-ξ1}={ξ1,ξ2,ξ3}
={ξ1,ξ2,ξ3}A
而|A|=
=0,因此r{ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3}≤r(A)<3
∴{ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3}线性相关.
故B错误;
③选项C.由于{ξ1-ξ2,ξ2-ξ3,ξ3-ξ1}={ξ1,ξ2,ξ3}
={ξ1,ξ2,ξ3}A
而|A|=
=0,因此r{ξ1-ξ2,ξ2-ξ3,ξ3-ξ1}≤r(A)<3
∴{ξ1-ξ2,ξ2-ξ3,ξ3-ξ1}线性相关.
故C错误;
④选项D.由于{ξ1,3ξ3,ξ1-2ξ2}={ξ1,ξ2,ξ3}
={ξ1,ξ2,ξ3}A
而|A|=
=−3≠0,因此r{ξ1,3ξ3,ξ1-2ξ2}=r{ξ1,ξ2,ξ3}=3
∴{ξ1,3ξ3,ξ1-2ξ2}线性无关
故D正确.
故选:D.
①选项A.由于{ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3}={ξ1,ξ2,ξ3}
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而|A|=
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∴{ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3}线性相关
故A错误.
②选项B.由于{ξ1-ξ2-ξ3,ξ2,ξ3-ξ1}={ξ1,ξ2,ξ3}
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而|A|=
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∴{ξ1-ξ3,ξ1+ξ2+ξ3,ξ2+2ξ3}线性相关.
故B错误;
③选项C.由于{ξ1-ξ2,ξ2-ξ3,ξ3-ξ1}={ξ1,ξ2,ξ3}
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而|A|=
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∴{ξ1-ξ2,ξ2-ξ3,ξ3-ξ1}线性相关.
故C错误;
④选项D.由于{ξ1,3ξ3,ξ1-2ξ2}={ξ1,ξ2,ξ3}
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而|A|=
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∴{ξ1,3ξ3,ξ1-2ξ2}线性无关
故D正确.
故选:D.
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