n阶矩阵,除对角线上的元以外均是1.对角线上的元为：a1；a2；a3；...；an.如何求秩?正确的结果书籍上有.但是不知道怎么得出来的,

Question

n阶矩阵,除对角线上的元以外均是1.对角线上的元为：a1；a2；a3；...；an.如何求秩?
正确的结果书籍上有.但是不知道怎么得出来的,

Answer 1

ri-r1,i=2,3,...,n 所有行减第1行
a1 1 ...1
1-a1 a2-1 ...0
......
1-a1 0 ...an-1
第i列提出 ai-1 [注:ai≠1]
a1/(a1-1) 1/(a2-1) ...1/(an-1)
-1 1 ...0
......
-1 0 ...1
c1+c2+...+cn 所有列加到第1列
1+ ∑1/(ai-1) 1/(a2-1) ...1/(an-1)
0 1 ...0
......
0 0 ...1
= ∏(ai-1)[1+ ∑1/(ai-1)]
= (a1-1)(a2-1)(a3-1)...(an-1)
+(a2-1)(a3-1)...(an-1)
+(a1-1)(a3-1)...(an-1)
+(a1-1)(a2-1)...(an-1)
+...
+(a1-1)(a2-1)(a3-1)...(a(n-1)-1)
[注:当ai=1时上式也成立]