假设A是3×3矩阵，η是3维列向量，并且A2η≠0但A3η=0．（1）证明：η，Aη，A2η线性无关；（2）证明：A不与任何对角阵相似．

Question

假设A是3×3矩阵，η是3维列向量，并且A²η≠0但A³η=0．
（1）证明：η，Aη，A²η线性无关；
（2）证明：A不与任何对角阵相似．

Answer 1

证明：（1）设k1η+k2Aη+k3A2η＝0…（*）则两边左乘A，得k1Aη+k2A2η+k3A3η＝0由A3η=0，得k1Aη+k2A2η＝0再次两端左乘A，得k1A2η＝0而A2η≠0∴k1=0代入（*）式，得k2Aη+k3A2η＝0两端左乘A，得k2A2η＝0而A...