如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中

Question

如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若二次函数y=ax ² +bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，
∴OB= ，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD= ，BD= ，
∴点B的坐标为（ ）．
（2）将A（2，0）、B（ ）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax ² +bx+c，
得
解方程组，有a= ，b= ，c=0．
∴所求二次函数解析式是y= x ² + x．
（3）设存在点C（x， x ² + x）（其中0＜x＜ ），使四边形ABCO面积最大
∵△OAB面积为定值，
∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大． 过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，
则S _△OBC =S _△OCF +S _△BCF = |CF| |OE|+ |CF| |ED|= |CF| |OD|= |CF|，
而|CF|=yC﹣yF= x ² + x﹣ x=﹣ x ² + x，
∴S△OBC= x ² + x．
∴当x= 时，△OBC面积最大，最大面积为 ．此时，点C坐标为（ ），四边形ABCO的面积为 ．