（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E、F，则EF=h．设OE=x，∵△OAB∽

Question

（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．
方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E、F，则EF=h．
设OE=x，∵△OAB∽△ODC，∴(x)/(x+h)=(a)/(b)，即x=(ah)/(b−a)．
∴S_梯形ABCD=S_△ODC-S_△OAB=(1)/(2)b（x+h）-(1)/(2)ax=(1)/(2)（b-a）x+(1)/(2)bh=(1)/(2)（a+b）h．
方法二：作AB的平行线MN分别交AD、BC于MN，过点A作BC的平行线AQ分别于MN、DC于PQ，则△AMP∽△ADQ．
设梯形AMNB的高为x，MN=y，(x)/(h)=(y−a)/(b−a)⇒y=a+(b−a)/(h)x，∴S梯形ABCD=

∫

h 0

（a+(b−a)/(h)x）dx=（ax+(b−a)/(2h)x²）

|

h 0

=ah+(b−a)/(2h)•h²=(1)/(2)（a+b）h．
再解下面的问题：
已知四棱台ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是S₁，S₂（S₁＜S₂），棱台的高为h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=(1)/(3)×底面积×高）．

Answer 1

法一：将V_{四棱台ABCD-A′B′C′D′}补为四棱锥V-ABCD，
设点V到面A′B′C′D′的距离为h′，面ABCD与面A′B′C′D′的距离为棱台的高h，
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，上、下底面的面积分别是S₁，S₂，
∴(s1)/(s2)=(h′2)/((h+h′)2)，∴h′=(h√(s1))/(√(s2)−√(s1))；
∴V_{四棱台ABCD-A′B′C′D′}=V_{四棱锥A′B′C′D′}-V_{四棱锥ABCD}
=(1)/(3)×S₂×（h+h′）-(1)/(3)×S₁×h′=(1)/(3)S₂h+(1)/(3)（S₂-S₁）h′=(1)/(3)（S₁+√(S1S2)+S₂）h．
所以，四棱台ABCD-A′B′C′D′的体积为(1)/(3)（S₁+√(S1S2)+S₂）h．
法二：作一与上下底面平行的平面A^″B^″C^″D^″截得四边形的面积为S，它与上底面的距离为x，
过棱A′D′作B′C′CB的平行于平面A′D′PQ，与A^″B^″、C^″D^″、AB、CD分别交于M、N、P、Q，
则△AMN∽△APQ，∴(x2)/(h2)=(S−S1)/(S2−S1)，∴S=S₁+(x2)/(h2)（S₂-S₁），
∴V_{四棱台ABCD-A′B′C′D′}=

∫

h 0

[S₁+(x2)/(h2)（S₂-S₁）]dx
=[S₁x+(1)/(3)(x3)/(h2)（S₂-S₁）]

|

h 0

=(1)/(3)（S₁+√(S1S2)+S₂）h．
∴四棱台ABCD-A′B′C′D′的体积为为(1)/(3)（S₁+√(S1S2)+S₂）h．