如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．（1）求异面直线AB与EF所成角的余弦值；（2）求E到平面ACD的距离；（3）求EF与平面ACD所成角的正弦值．

Question

如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．
（1）求异面直线AB与EF所成角的余弦值；
（2）求E到平面ACD的距离；
（3）求EF与平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）如图，分别以直线BC，BD，AB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．
∴A（0，0，4），C（4，0，0），D（0，4，0），E（2，0，0），F（0，2，2），
∵

AB

=（0，0，-4），

EF

=（-2，2，2），
设异面直线AB与EF所成角为θ，
则cosθ=(|AB•EF|)/(|AB|•|EF|)=(8)/(4×2√(3))=(√(3))/(3)，
即异面直线AB与EF所成角的余弦值为(√(3))/(3)；
（2）设平面ACD的一个法向量

n

=（x，y，1），
∵

AC

=（4，0，-4），

CD

=（-4，4，0），
由

n

•

AC

＝0

n

•

CD

＝0

，得

4x−4＝0

−4x+4y＝0

，
故

n

=（1，1，1），
∵F∈平面ACD，

EF

=（-2，2，2），
∴E到平面ACD的距离d=(|n•EF|)/(|n|)=(2)/(√(3))=(2√(3))/(3)；
（3）由（2）中平面ACD的一个法向量

n

=（1，1，1），
设EF与平面ACD所成角为α．
则sinα=cos＜

n

，

EF

＞=(|n•EF|)/(|n|•|EF|)=(2)/(√(3)•2√(3))=(1)/(3)．