如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE=FC1=B1G=1，H是B1C1的中点．（1）求证：E、B、F、D1四点共面（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．

Question

如图所示，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为3的正方体，点E在AA₁上，点F在CC₁上，G在BB₁上，且AE=FC₁=B₁G=1，H是B₁C₁的中点．

（1）求证：E、B、F、D₁四点共面
（2）求证：平面A₁GH∥平面BED₁F．

Answer 1

证明：（1）如图：在DD₁上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，则AE=DN=1．CF=ND₁=2、
因为CF∥ND₁所以四边形CFD₁N是平行四边形，
所以D₁F∥CN．
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，
又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN∥BE，
所以D₁F∥BE，
所以E，B，F，D₁四点共面；
（2）因为H是B₁C₁的中点，所以B₁H=(3)/(2)，
因为B₁G=1，所以(B1G)/(B1H)=(2)/(3)，
因为(FC)/(BC)＝(2)/(3)，且∠FCB=∠GB₁H=90°，
所以△B₁HG∽△CBF，
所以∠B₁GH=∠CFB=∠FBG，
所以HG∥FB，
由（1）知，A₁G∥BE且HG∩A₁G=G，FB∩BE=B，
所以平面A₁GH∥平面BED₁F．