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在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求二面角E-BC-A的余弦
题目详情
在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上.
(1)求证:DE∥平面ABC;
(2)求二面角E-BC-A的余弦值.
(1)求证:DE∥平面ABC;
(2)求二面角E-BC-A的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意知,△ABC,△ACD都是边长为2的等边三角形,
取AC中点O,连接BO,DO,
则BO⊥AC,DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC,作EF⊥平面ABC,
那么EF∥DO,根据题意,点F落在BO上,
∴∠EBF=60°,∴EF=DO=
,
所以四边形DEFO是平行四边形,DE∥OF;
∵DE⊄平面ABC,OF⊂平面ABC,∴DE∥平面ABC.
方法一:(2)作FG⊥BC,垂足为G,连接FG;
∵EF⊥平面ABC,根据三垂线定理可知,EG⊥BC,
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角,
∵FG=BF•sin∠FBG=
,EF=
,
∴EG=
=
,
∴cos∠EGF=
=
,
即二面角E-BC-A的余弦值为
.
方法二:(2)建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
可求得平面ABC的一个法向量为
取AC中点O,连接BO,DO,
则BO⊥AC,DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC,作EF⊥平面ABC,
那么EF∥DO,根据题意,点F落在BO上,
∴∠EBF=60°,∴EF=DO=
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所以四边形DEFO是平行四边形,DE∥OF;
∵DE⊄平面ABC,OF⊂平面ABC,∴DE∥平面ABC.
方法一:(2)作FG⊥BC,垂足为G,连接FG;
∵EF⊥平面ABC,根据三垂线定理可知,EG⊥BC,
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角,
∵FG=BF•sin∠FBG=
1 |
2 |
3 |
∴EG=
EF2−FG2 |
| ||
2 |
∴cos∠EGF=
FG |
EG |
| ||
13 |
即二面角E-BC-A的余弦值为
| ||
13 |
方法二:(2)建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
可求得平面ABC的一个法向量为
作业帮用户
2017-10-28
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