在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为2，求直线l的方程．

Question

在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．
（I）求圆E的方程；
（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为√(2)，求直线l的方程．

Answer 1

（I）设圆E的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上
∴

4+4+2D+2E+F＝0

1+9+D+3E+F＝0

1+1+D+E+F＝0

，解之得

D＝−2

E＝−4

F＝4

因此，圆E的方程为x²+y²-2x-4y+4=0；
（II）将圆E化成标准方程，可得（x-1）²+（y-2）²=1
∴圆心为E（1，2），半径r=1
设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=(|k−2|)/(√(k2+1))
∵直线l与圆E相交所得弦的长为√(2)，
∴由垂径定理，得d²+（(√(2))/(2)）²=r²=1
可得d²=(1)/(2)，即

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