急设过点P(-2,4),倾斜角为135°的直线l与抛物线C相交于A,B两点设过点P（－2,4）,倾斜角为135°的直线L与抛物线C相交于两点A、B,抛物线C的顶点在原点且以x轴为对称轴,若|PA|、|AB|、|PB|成等比

Question

【急】设过点P(-2,4),倾斜角为135°的直线l与抛物线C相交于A,B两点
设过点P（－2,4）,倾斜角为135°的直线L与抛物线C相交于两点A、B,抛物线C的顶点在原点且以x轴为对称轴,若|PA|、|AB|、|PB|成等比数列,试确定抛物线的方程

Answer 1

设抛物线的方程为y^2=mx.①
直线L的斜率=tan135°=-1,方程为
y=-x+2.②
代入①,整理得x^2-(m+4)x+4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=m+4,x1x2=4.
△=（m+4)^2-16=m^2+8m.
|AB|=√（2△）.
|PA|、|AB|、|PB|成等比数列,
AB^2=|PA|*|PB|,
2△=(√2）|x1+2|*（√2）|x2+2|,
土△=x1x2+2(x1+x2)+4,
土（m^2+8m)=8+2(m+4),
m^2+6m-16=0,或m^2+10m+16=0,
m1=-8,m2=2,m3=-2,
∴所求抛物线方程是y^2=土2x,或y^2=-8x.