在三角形ABC中,已知AC=2,AB=1,且角A、B、C满足cos2A+2sin^2(B+C/2)=1.急在三角形ABC中,已知AC=2,AB=1,且角A、B、C满足cos2A+2sin^2(B+C/2)=1,(I)求角A大小和BC边长(II)若点P是线段AC上的动点,设点P到边AB、BC的距离

Question

在三角形ABC中,已知AC=2,AB=1,且角A、B、C满足cos2A+2sin^2(B+C/2)=1.急
在三角形ABC中,已知AC=2,AB=1,且角A、B、C满足cos2A+2sin^2(B+C/2)=1,
(I)求角A大小和BC边长
(II)若点P是线段AC上的动点,设点P到边AB、BC的距离分别是x,y,试求xy最大值,并指出P点位于何处时xy最大.

Answer 1

（Ⅰ）cos2A+2sin²[(B+C)/2]=1 → 1-2sin²A+2sin²[(B+C)/2]=1 → sinA=sin[(B+C)/2] → A=(B+C)/2；
∴ 3A=180° → A=60°；
由余弦定理：BC²=AC²+AB²-2AC*AB*cosA=2²+1²-2*2*1*cos60°=3,∴ BC=√3；△ABC为RT△；
（Ⅱ）由题意得：(x/sinA)+(y/sinC)=AC；
将 sinA=sin60°=√3/2、sinC=1/2 代入得：(2x/√3)+2y=2,即 y=1-x√3/3；
∴ xy=x*[1-(x√3/3)]=x-(x²√3/3)=-√3/3[x-(√3/2)]²+(3/4)；
xy 最大值：3/4（当 x=√3/2=BC/2,由RT△可得出：PA=PC,即P位于AC边的中点时）；